Dobrze dobrana instalacja słoneczna powinna w pełni odpowiadać faktycznemu zapotrzebowaniu na energię elektryczną w skali roku. Dzięki temu instalacja wyprodukuje nadwyżkę energii w lecie, aby zimą móc korzystać ze zgromadzonych zapasów przez Twoje panele fotowoltaiczne. Dlatego też tak istotne jest dokładne określenie ilości energii zużywanej w danym budynku. W oszacowaniu tej wartości pomogą Ci nasi specjaliści. Podczas wstępnego audytu telefonicznego przeprowadzimy niezbędne obliczenia, które pozwolą na dokładne dopasowanie mocy paneli do Twoich czekaj i już teraz zainwestuj w instalację fotowoltaiczną!Instalacja fotowoltaiczna – zapotrzebowanie przeciętnego gospodarstwa domowegoPrzeciętne gospodarstwo domowe w Polsce zużywa około 4200 kWh energii elektrycznej w ciągu roku. Dom mieszczący się w tej uśrednionej wartości zużycia potrzebuje instalacji słonecznej o mocy mniej więcej 5,00 - 5,25 wszystko warto jednak obliczyć dokładne zapotrzebowanie dla własnego domu, mając na uwadze fakt, że każda rodzina w nieco inny sposób wykorzystuje wszelkie urządzenia obliczyć zapotrzebowanie energii na własną rękę?Nasi doradcy obliczą to za Was, jednakże istnieje możliwość samodzielnego obliczenia wartości zapotrzebowania na prąd, jak i jego zużycia. Pomocne będą w tym gotowe dokładnie przeanalizować rachunki za prąd z ostatniego roku, jak i tabliczki znamionowe na urządzeniach elektrycznych w domu. Najłatwiejszym sposobem jest sprawdzenie rocznego zużycia energii w kWh na rachunku lub na portalu Twojego Operatora Energii. Kiedy masz już wszystkie niezbędne dane, wystarczy podstawić je do poniższego wzoru:Potrzebna moc instalacji [kWp] = roczne zużycie energii w kWh x 1,2 (lub sposobem na obliczenie potrzebnej mocy instalacji jest poniższy wzór. Jest on mniej dokładny niż pierwsze wyliczenie, ponieważ średni rachunek może zależeć od wielu wartości - różne taryfy: G11, G12, G12w lub różne opłaty handlowe. Dlatego najbardziej rekomendowanym rozwiązaniem jest sprawdzenie dokładnego, rocznego zużycia energii na przestrzeni kilku lat i na tej podstawie dopasowanie mocy instalacji. Drugi, mniej dokładny wzór na obliczenie mocy instalacji wygląda następująco:Moc instalacji [kWp] = [uśredniony miesięczny rachunek za prąd x 12 miesięcy x 2(współczynnik uwzględniający sposób rozliczania energii z fotowoltaiki przez Zakład Energetyczny)/ roczną produkcję z 1kWp ( W Polsce średnio 1000 kWh na m²)Są to szacunkowe wyliczenia. Warto pamiętać, że nasi specjaliści wykonają dokładne obliczenia i dobiorą moc instalacji do Państwa potrzeb. Nasi doradcy wezmą również pod uwagę kąt nachylenia Twojej przyszłej instalacji oraz zorientowanie domu względem słońca, aby jak najlepiej przedstawić Ci tym dwóm powyższym wzorom możesz w prosty sposób obliczyć, jaka moc instalacji fotowoltaicznej będzie dla Ciebie swój adres i otrzymaj darmową wycenę! Ile potrzebuję paneli fotowoltaicznych, aby pokryć zapotrzebowanie mojego domu?Ważnym aspektem instalacji fotowoltaicznej jest jej wielkość. Zbyt mała ilość paneli nie zaspokoi zapotrzebowania gospodarstwa, przez co wysokość rachunków ulegnie tylko częściowemu zmniejszeniu. Zbyt duża natomiast oznaczać będzie ogromną nadprodukcję, której nie będzie można zużytkować, co może skutkować utraceniem wyprodukowanej wyliczyć optymalną ilość paneli fotowoltaicznych?Ilość potrzebnych paneli fotowoltaicznych zależy od wielu czynników. Między innymi od nasłonecznienia terenu, ustawienia domu względem kierunków geograficznych, zużycia energii w gospodarstwie, rodzaj i wielkość dachu oraz wielu innych. Prawidłowe wyliczenie tych wszystkich parametrów najlepiej pozostawić naszym doradcom, którzy posiadają doświadczenie i prawidłowo ocenią warunki. Takie wyliczenie jest zupełnie darmowe i nie zobowiązuje do dalszej współpracy. Wystarczy wejść na stronę i wpisać swój adres, a następnie otrzymać wstępne wyliczenia dotyczące instalacji czego zależy wielkość instalacji fotowoltaicznej?Należy zauważyć przede wszystkim, że instalacja fotowoltaiczna nie pracuje jednakowo przez cały rok. Nadmiar wyprodukowanej energii w lecie powinien pokryć jej niedobory zimą. Podobne wyrównanie istnieje w systemie dobowym. Prąd wykorzystywany nocą powinien być pokrywany z energii pozyskiwanej w dzień. Panele fotowoltaiczne są również zależne od warunków pogodowych, i to także powinno wziąć się pod uwagę podczas liczenia. W czasie deszczu uzyskamy mniej prądu niż w słoneczny dzień. Wszystkie te aspekty są ujmowane statystycznie w programach, które wyliczają zapotrzebowanie na panele fotowoltaiczne. Nasi specjaliści na podstawie analizy średniej wieloletniej nasłonecznienia oraz wyliczeniu dokładnych uzysków w danej szerokości geograficznej są w stanie precyzyjnie obliczyć parametry pracy ważnych poziomówMoc paneli fotowoltaicznych podaje się najczęściej w kWp (kilowatopikach). Jest to jednostka określająca moc instalacji fotowoltaicznej, która mówi jaką maksymalną wydajność mogą osiągnąć panele w warunkach laboratoryjnych. W zależności od mocy zmieniają się pewne warunki ich można tu dwie takie granice: 10 kWp oraz 50 kWp. Przy pierwszej zmieniają się warunki rozliczania z operatorem sieci. Poniżej 10 kWp operator pobiera 20% energii oddanej do sieci jako opłaty za magazynowanie i przesył. Powyżej 10 kWp wartość tej opłaty rośnie do 30%. Natomiast instalacje powyżej 50 kWp traktowane są jako przemysłowe i wymagają pozwolenia na wiedzieć, że dla zwykłego gospodarstwa domowego instalacja o mocy 4 do 7 kWp jest zazwyczaj zupełnie wystarczająca. Sprawdź to, używając naszego kalkulatora fotowoltaiki. Oblicz swoje zapotrzebowanie na naszej stronie Otovo!

Frontex wyśle misję do Finlandii. Dla wzmocnienia tego przejścia granicznego oraz innych odcinków długiej na 1340 kilometrów granicy z Rosją do Finlandii swoją misję wyśle Frontex, czyli Europejska Agencja Straży Granicznej i Przybrzeżnej. Fińskie władze poprosiły o to wczoraj (22 listopada). Misja ma liczyć 50 osób, a w jej

Oblicz granice ciągu Adi: policzyć granice ciągu przykład najlepiej wpisać w wolframalpha żeby zobaczyć jak wygląda Limit[(3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n))/(−2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n), n −> Infinity] 5 gru 23:31 Mila: 3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n) Lim= tak ? −2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n 5 gru 23:34 Ajtek: Mila, tam chyba są potęgi . 5 gru 23:35 5 gru 23:36 Mila: No to zostawiam Cię Ajtku! walcz. 5 gru 23:38 Ajtek: Mila, fakt, że przypominałem sobie to niedawno ≠ że to umiem . 5 gru 23:43 Mila: Mam liczyć? 5 gru 23:45 Ajtek: Licz . Mi wyszło ∞ na szybko. Zapewne wielbłąd wielki... 5 gru 23:47 5 gru 23:48 Ajtek: Piotr czy my się dzisiaj "witalim" 5 gru 23:49 Piotr: chyba nie Witaj Ajtek, Mila PS ABBA hihi 5 gru 23:50 Piotr: 6 − 1*0 + 2/2 = ? takie zadanie dzisiaj na forum rozwiazalem ..........Piotrowi 5 gru 23:53 Ajtek: Cześć Piotr . Się nie hahaj, ABBA to klasyk 5 gru 23:56 Ajtek: Za trudne Mila, robiłem tą granice w pamięci. Nie miałem pewności, czy wynik się zgadza. A kodować rozwiązania mi się nie chciało. 5 gru 23:59 Mila:32 − n + 510 + 2 n − 7−1 + n =−2−2 + 2 n + 4(1 + n) + 7n 3*(1/3)n+25n+5−(1/7)*7n == 7n+4*4n−4n*(1/4) 3*(1/3)n+255*25n−(1/7)*7n ==dzielę licznik i mianownik przez 7n 1 25 1 3*()n+255* ()n− 21 7 7 lim=∞ 19 4 1+*()n 4 7 6 gru 00:00 Ajtek: Mila 6 gru 00:01 Mila: Ajtek, co ten stworek pluje na mnie? 6 gru 00:06 Ajtek: "Pluje" serduszkami . 6 gru 00:07 Mila: Piotrze, dlaczego wyśmiewasz ABBA? Dobranoc, Panowie 6 gru 00:13 Ajtek: Spokojnej Mila . 6 gru 00:21 Piotr: Dobranoc Mila sie nie wysmiewam tylko zauwazylem w jakims poscie, ze Ajtek cos wspomnial i tak podchwycilem. myslalem ze moze jakos Nasz Znawca rozwinie swoja mysl muzyczna 6 gru 00:28 6 gru 00:34 Piotr: 6 gru 00:43 Ajtek: Mila 6 gru 00:45 asdf: @Mila 32 − n = 32 * 3−n = 9 * (1/3)n 6 gru 01:37 Piotr: 6 gru 01:55 asdf: 6 gru 00:00, druga linijka 6 gru 02:11 Aga1.: @ asdf, masz rację, ale nie ma to wpływu na końcowy wynik. 6 gru 10:17

Dzień dobry, rozwiązuje aktualnie zadania z książki do analizy matematycznej i natrafiłem na zadanie w którym należy obliczyć granice ciągu \lim\limits _{n\righ Matematyka.pl Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki Dzięki za pomoc. Doczytałem jeszcze trochę na ten temat. I zauważyłem że metoda obliczania granicy bardziej złożonych ciągów polega na przekształcaniu ich przy pomocy twierdzeń o ciągach w taki sposób, by "wydzielić" ciągi elementarne które się mnożą, dzielą etc (wiem że używam nieformalnego języka skrajnie). I w tym momencie mam zagwozdkę. O ile twierdzenia o ciągach da się znaleźć w 30 sek w google i w każdym podręczniku matematyki, to mam problem ze znalezieniem granic ciągów "elementarnych". Chodzi o np: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \frac{1}{n}}\) - tu udało się mnie doczytać że to \(\displaystyle{ 0}\) W waszym kompendium znalazłem: (sorka że trochę przyśmiecę wam latexem ) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e \\ \\ \lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} \\ \\\\ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a, \hspace{10} a \in R \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} =1 \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1, \hspace{10} a>0 \\ \\ \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \hspace{10} a>0 \\ \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a^n= \begin{cases} 0, \hspace{10} a \in (0; 1) \\ \\ 1, \hspace{10} a= 1 \\ \\ +\infty, \hspace{10} a>1 \end{cases} \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B > 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_nb_n = +\infty \\ \\ a_n = +\infty \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B < 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_nb_n = -\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = +\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = +\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = -\infty\\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \hspace{5} \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty}\) Jest powyższy wykaz częściowo zgodny z tym o co mi chodzi. Ale nie rozumiem paru rzeczy. \(\displaystyle{ e}\) - jak wyznaczyć "e"? A jak w przypadku ciągu stałego? Wyznaczyć granicę?

To wyrażenie jest zawsze dodatnie, bo n oznacza numer wyrazu ciągu i bierzemy za niego liczby takie jak: 1, 2, 10. Czyli mamy wartość bezwzględną z liczby dodatniej. Możemy zatem ją opuścić, bo wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest zawsze dodatnia: Mnożymy obie strony przez n i znowu musimy się pozastrzegać, że ‚n

^{Zajmijmy się licznikiem. Dla n=1 mamy 1-2 = -1, dla n=2 mamy 1-2 + 3-4 = -2. Dla n=3 mamy -2 + 5 - 6 = -3 i tak dalej. Ogólnie dla n wynikiem jest -n. Licznik możemy inaczej zapisać jako szereg o wyrazie ogólnym (2n-1)-2n. W takim razie jest on równoważny zapisowi (1-2)+(3-4)+...+((2n-1)-2n). Jak widać w każdym nawiasie będziemy mieć -1, więc suma n wyrazów tego szeregu wynosi wzór ogólny upraszcza się do -n/(n+4), więc granica wynosi -1.} Zbieżność ciągu w metryce euklidesowej jednowymierowej. Zbieżność bada się po współrzędnych. Ciąg pierwszych współrzędnych jest począwszy od drugiego wyrazu stały, a ciąg drugich współrzędnych zmierza do dwóch, jako że sinus liczby zmierzającej do zera też zmierza do zera. A zatem ciąg (an) ( a n) zmierza do punktu (1 Na tej stronie znajduje się zestawienie wielu różnych granic. Więcej przykładów wraz z omówieniem teorii znajdziesz w kolejnych podrozdziałach. Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3\).\(3\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3=0+3=3\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}\).\(-\sqrt{2}\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}=0-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21\).\(21\)\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21 &=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{n}+21=\\[16pt] &=\frac{1}{5}\cdot 0+21=\\[16pt] &=0+21=21 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}\).\(0\) \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}=0+0-0=0\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\[\begin{split}&\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n^2+1-(2n^2-1)\right)}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{\sqrt{2+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)\)\(\frac{3\sqrt{7}}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(7n^2+3-(7n^2-3)\right)}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{6n}{n}}{\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{\sqrt{7+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{7-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\)\(-\frac{5}{9}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\ \frac{:n^6}{:n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5n^6}{n^6}-\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-\dfrac{9n^6}{n^6}}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{5-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-9}=\\[15pt] &=-\frac{5}{9} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}=\\[12pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+1-n^2-2n}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{4n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{2n}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{2}{2}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}\)\(-1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+3+...+(2n-1)\right)-(2+4+...+2n)}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &\{\text{w liczniku mamy dwie sumy ciągów arytmetycznych}\}\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{(2n-1)+1}{2}\cdot n-\dfrac{2n+2}{2}\cdot n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n^2-n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-\dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{-1}{\sqrt{1}}=-1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}\)\(\frac{4}{3}\) W liczniku mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \] W mianowniku również mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \] Zatem mamy: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}=\dfrac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\)\(1\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\ \frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\sqrt{\dfrac{n}{n^2}+\sqrt{\dfrac{n}{n^4}}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\sqrt{\dfrac{1}{n^3}}}}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^\tfrac{1}{2}\cdot 2^\tfrac{1}{4}\cdot ...\cdot 2^\tfrac{1}{2^n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+...+\tfrac{1}{2^n}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{1}}=\\[16pt] &= 2^1=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\cdot \frac{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+6\sqrt{n}+1-n}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}\frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6\sqrt{\dfrac{n}{n}}+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+6\sqrt{\dfrac{n}{n^2}}+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{\dfrac{n}{n}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+6\sqrt{\dfrac{1}{n}}+\dfrac{1}{n}}+1}=\\[16pt] &= \frac{6+\sqrt{0}}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{6}{2}=3 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)W liczniku pod pierwiastkiem mamy sumę ciągu arytmetycznego, zatem: \[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2}}}{n}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2n^2}}}{1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}}=\\[16pt] &=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\cdot \frac{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+\sqrt{n+1}-n^2+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)(n+1-n)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1+\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}}+\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^4}}}}=\\[16pt] &=\frac{1+0+1+1+1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2)+(n+1)!}{(n+1)!\cdot (n+2)-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2+1)}{(n+1)!\cdot (n+2-1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+3)}{(n+1)!\cdot (n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{n+1}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\frac{1}{1}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}\)\(\infty \)\[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}&=\lim_{n \to \infty} \frac{7^n\left(1+\left(\dfrac{5}{7}\right)^n\right)}{5^n\left(1+\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{7}{5}\right)^n=\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} n(\ln (n+1)-\ln n)\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} n\left(\ln \frac{n+1}{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln e=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}\)\(\log_23\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\frac{\log_2(n+1)}{\log_23}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \log_23=\\[16pt] &=\log_23 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)\)\(-\infty \)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 3^n\left(\frac{1}{3^n}+\left(\frac{2}{3}\right)^n-1\right)=\\[16pt] &=-\lim_{n \to \infty} 3^n=-\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n\)\(e^5\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^\dfrac{n}{5}\right]^5=\\[16pt] &=e^5 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=e^0=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}\)\(e^6\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{6}}\right]^6=\\[6pt] &=e^6 \end{split} \]Oblicz granice funkcji \(\lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)\)7\[ \lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)=(-3)^2+3\cdot (-3)+7=7 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} \)\(0\)\[ \lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} =\frac{\sqrt{4^2-16}}{4\cdot 4+2}=\frac{0}{18}=0 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 3}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} =\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x+3}=\\[15pt] &=\frac{0}{6}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} \)\(4\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1} \left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)=\\[16pt] &=2\cdot 2=4 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{z \to -2} \frac{z^3+4z^2+4z}{z^2-z-6}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{z \to -2}\frac{z(z^2+4z+4)}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)^2}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)}{z-3} =\\[16pt] &=\frac{0}{-5}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\)\(\frac{2}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\dfrac{1}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}}=\\[16pt] &=\frac{2}{7} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x} \)\(-\sqrt{2}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}\cdot \frac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{|x^2|}-\dfrac{1}{|x^2|}}}{\dfrac{x}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\dfrac{0+\sqrt{2-0}}{-1}=\\[16pt] &=-\sqrt{2} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right) \)\(\frac{1}{4}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\left(\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)^2}{x-3}=\\[16pt] &=\frac{0}{-1}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}+\dfrac{3x}{x}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}}+3}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}=\\[16pt] &=\frac{3}{\sqrt{1}}=3 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}\)\(-10\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x^2-1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x-1)(x+1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}(x^2+4)(x-1)=\\[16pt] &=5\cdot (-2)=-10 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\)2\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin 2x}{2x}=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2} \)\(\frac{1}{2}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{(1-x)(1+x)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1+x}\cdot \lim_{x \to -1}\frac{1}{1-x}=\\[16pt] &=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} \)\(\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} =\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})}{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \end{split} \] ^{Granica ciągu nieskończonego. > należą do tego otoczenia. Ciąg, który posiada granicę nazywamy ciągiem zbieżnym. Mamy: Niech będzie dowolną liczbą dodatnią. Otrzymujemy zatem: To również znaczy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego () (prawie wszystkie- wszystkie oprócz skończonej ilości) będą należały do} W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości. W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}}\) Niech \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }b_n=b}\). Wtedy zachodzą poniższe równości: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n+b_n)=a+b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b}\) O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}}\) Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) są ograniczone (to znaczy, istnieje stała \(\displaystyle{ M}\), taka że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(2') } \lim_{ n\to \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(3) } \lim_{ n\to \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(4) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(5) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(6) } \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n =e}\) \(\displaystyle{ \mbox{TW. 11}}\) Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) o niezerowych wyrazach spełnia: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g}\), wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g}\) Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż") \(\displaystyle{ \mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}}\) \(\displaystyle{ \mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{5. }a_n= \left( \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3}\) \(\displaystyle{ \mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n}}\) dla \(\displaystyle{ q>1}\), \(\displaystyle{ k>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ c>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}}\) \(\displaystyle{ \mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{20. }a_n= \left( \frac{n+5}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{21. }a_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}}\) \(\displaystyle{ \mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{28. }a_n= \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}}\) Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach". Książka Strażniczka Swoich Granic. Jak być wierną sobie, by wreszcie żyć tak, jak na to zasługujesz autorstwa Cole Terri, dostępna w Sklepie EMPIK.COM w cenie 30,29 zł. Przeczytaj recenzję Strażniczka Swoich Granic. Jak być wierną sobie, by wreszcie żyć tak, jak na to zasługujesz. Zamów dostawę do dowolnego salonu i zapłać przy odbiorze! Ile kalorii muszę jeść?Co powinniśmy wiedzieć o makroskładnikach?Dlaczego warto liczyć kalorieJak zacząć liczyć kalorieJaki z tego morał? Liczenie kalorii to jedna z rzeczy, która dzieli społeczeństwo na dwa obozy. Dla jednych jest to jedyna i słuszna metoda, inni dostają gęsiej skórki na samą myśl o tym, że ich ulubiony hamburger miałby stać się „zwykłą cyfrą”, a na dodatek musieliby zapisywać jej wartości w jakimś dzienniczku. Niezależnie od tego, czy jesteś zwolennikiem czy przeciwnikiem liczenia kalorii, nie możesz zaprzeczyć, że jest to bardzo skuteczna metoda kontrolowania ilości spożywanych pokarmów ułatwiająca osiągnięcie wymarzonej sylwetki lub po prostu nauczenie się, ile naprawdę musisz jeść. Jeśli zastanawiasz się nad rozpoczęciem liczenia kalorii, mamy dla Ciebie kilka wskazówek, które znacznie ułatwią Ci cały proces. Ile kalorii muszę jeść? Zanim zaczniesz liczyć kalorie z pożywienia, musisz dowiedzieć się, ile kalorii i makroskładników faktycznie musisz zjeść, aby osiągnąć swój cel. Pomoże Ci w tym artykuł Jak obliczyć spożycie energii i makroskładników w celu utraty wagi lub przyrostu masy mięśniowej? Jeszcze łatwiejszą opcją jest wprowadzenie swojej wagi, wzrostu i innych szczegółowych danych do naszego kalkulatora, który obliczy Twoje spożycie zgodnie z wyznaczonym celem. Ile energii i makroskładników potrzebujesz? Wyjaśnienie: Podnoszenie ciężarów na siłowni, trening obwodowy na siłowni, crossfit, trening siłowy, street workout Hokej, piłka nożna, siatkówka, koszykówka, unihokej, futsal, tenis, squash, tenis stołowy TRX, trening obwodowy, pompa ciała, aerobik i inne zajęcia prowadzone przez instruktora Bieganie, pływanie, jazda na rowerze, wioślarstwo Wyjaśnienie: Uprawiam sporty siłowe Podnoszenie ciężarów na siłowni, trening obwodowy na siłowni, crossfit, trening siłowy, street workout Uprawiam sporty zespołowe. Hokej, piłka nożna, siatkówka, koszykówka, unihokej, futsal, tenis, squash, tenis stołowy Prowadzę wymagające szkolenia grupowe TRX, trening obwodowy, body pump, aerobik i inne zajęcia prowadzone przez instruktora Uprawiam sport wytrzymałościowy. Bieganie, pływanie, jazda na rowerze, wioślarstwo Co powinniśmy wiedzieć o makroskładnikach? Aby móc lepiej pracować z żywnością i jej wartością kaloryczną, konieczne jest posiadanie przynajmniej podstawowej wiedzy na temat poszczególnych makroskładników. 1. Białko Białko jest makroskładnikiem, który wspomaga zdrowie kości, wzrost mięśni, chroni mięśnie w diecie przed ich spalaniem, a także może pomóc odzyskać kontrolę nad apetytem na słodycze. Jednak są one również ważne dla układu odpornościowego, ponieważ stanowią budulec dla jego komórek. Wartość energetyczna 1 g białka wynosi 4 kcal. [1–4] Źródła białka: mięso, ryby, jajatwarogi, jogurty, sery i inne produkty mlecznewegańskie zamienniki mięsa (tofu, tempeh, seitan)pseudozboża (gryka, amarantus, komosa ryżowa)rośliny strączkowe (soczewica, fasola)orzechy i nasionabiałka (serwatkowe, roślinne)batony proteinowe, ciastka proteinowe, itp. Możesz dowiedzieć się więcej o źródłach białka w artykule 20 rodzajów żywności, które mogą łatwo uzupełnić Twoją dietę w białko. 2. Węglowodany Węglowodany są ważne w naszym organizmie głównie dlatego, że służą jako preferowane źródło energii. Wartość energetyczna 1 g węglowodanów wynosi 4 kcal. [1] [2] [5] Źródła węglowodanów: pełnoziarniste produkty zbożowe (płatki owsiane i orkiszowe, mąka, ryż, makaron, pieczywo)pseudozboża (gryka, amarantus, komosa ryżowa)ziemniaki zwykłe i słodkierośliny strączkowe (soczewica, ciecierzyca, fasola)owoce i warzywa 3. Tłuszcze Nawet tłuszcze służą w naszym organizmie jako źródło energii. Są one ważną częścią komórek i biorą udział w produkcji różnych hormonów w naszym organizmie. Jednocześnie chronią również nasze organy. Wartość energetyczna 1 g tłuszczu wynosi 9 kcal. [6] Źródła tłuszczów: orzechy, nasiona i masło orzechowemasło, ghee i oleje (słonecznikowy, oliwa z oliwek, z pestek dyni)oliwkiawokadotłuszcz, który jest naturalnym składnikiem białka zwierzęcego (na przykład, tłuszcz w wołowinie) 4. Błonnik Oprócz wyżej wymienionych makroskładników, powinniśmy zainteresować się również spożyciem błonnika w naszej diecie, ponieważ pełni on wiele ważnych funkcji w organizmie. Błonnik nierozpuszczalny nie ulega rozkładowi i może nam pomóc, na przykład przy problemach trawiennych. Z drugiej strony, błonnik rozpuszczalny może pęcznieć w organizmie, powodując uczucie sytości, co jest szczególnie przydatne podczas odchudzania. W porównaniu do innych makroskładników, zawiera tylko 2 kcal na gram. [7] Źródła błonnika: owocewarzywarośliny strączkowezboża i produkty pełnoziarniste Te produkty mogą Cię zainteresować: Dlaczego warto liczyć kalorie Chociaż początkowo liczenie kalorii może wydawać się tak trudne jak fizyka kwantowa, zobaczysz, że z czasem stanie się to dla Ciebie łatwiejsze, aż w końcu okaże się, że zajmuje tylko kilka minut każdego dnia. Jasne, rozpocząć jest zawsze trudno, ale może fakt, że istnieje całkiem sporo pozytywnych korzyści z tym związanych, pomoże Ci zacząć. 1. Lepiej zrozumiesz swoje jedzenie Czekolada zawsze będzie czekoladą, ale czy wiesz, że nie musisz postrzegać jej tylko jako grzesznego przysmaku, ale także jako doskonałe źródło zdrowych tłuszczów pochodzących z wysokiej jakości kakao? Jeśli nauczysz się patrzeć na jedzenie nie tylko jak na produkt końcowy, ale także dostrzegać jego poszczególne składniki, będziesz w stanie lepiej dostarczać organizmowi niezbędnych składników odżywczych i wyeliminować to, co mu nie służy. 2. Przezwyciężysz strach przed niektórymi pokarmami Czy żyjesz w świecie, w którym za każdym razem, gdy jesz posiłek typu fast food, przybywa Ci kilogramów? Kiedy nauczysz się pracować z kaloriami, przekonasz się, że cheeseburger typu fast food nie jest potrawą, która sprawi, że natychmiast przytyjesz. To tylko około 300 dodatkowych kcal w Twoim dziennym spożyciu kalorii. A jeśli odliczysz te 300 kcal z innego dziennego posiłku, możesz nawet pozostać w deficycie kalorycznym i schudnąć. Nie oznacza to jednak, że hamburger typu fast food powinien stać się codziennym elementem Twojej diety, ponieważ zależy to również od jakości jedzenia. Jeśli jednak zjesz go raz na jakiś czas, to nic się nie stanie. 3. Będziesz w stanie wybrać odpowiednie jedzenie Masz zaplanowany biznesowy lunch, ale nawet wtedy chcesz, aby Twoje jedzenie w restauracji nie wystrzeliło w kosmos Twojego dziennego spożycia kalorii? Wtedy jest to sytuacja, w której Twoje staranne codzienne liczenie kalorii okaże się przydatne. Nie musisz kończyć na sałatce tylko dlatego, że jest ona powszechnie uważana za „dietetyczną”. Możesz być zdziwić, jak wiele kalorii może być ukrytych w sosie sałatkowym. Zamiast tego wybierz kompletny posiłek który dostarczy organizmowi wysokiej jakości białka, węglowodanów i tłuszczów. Licząc kalorie, będziesz znać ich źródła, dzięki czemu będziesz mógł podjąć właściwą decyzję. Co powiesz na wybór łososia, ziemniaków i warzyw? 4. Zrozumiesz swoje wahania energii Na wczorajszym treningu wszystko poszło świetnie, ale dziś czujesz się jakby przejechała Cię ciężarówka? Czasami nawet lżejsza hantla może sprawić, że się spocisz. Spróbuj spojrzeć na swój zapisany dziennik żywności i zastanów się, czy winne jest temu jedzenie. Może większe spożycie węglowodanów, które dostarczyło Ci energii, mogło być powodem dobrego treningu? W ten sam sposób, dzięki zapisowi kalorii i konkretnych makroskładników, możesz zaobserwować, które posiłki sprawiają, że czujesz się dobrze a kiedy z kolei jesteś gotowy położyć się w łóżku i uciąć sobie drzemkę. Dzięki tym informacjom możesz potem lepiej pracować, a tym samym poprawić swoje wyniki nie tylko na siłowni, ale także podczas ważnych zadań w pracy czy egzaminów w szkole. 5. Będziesz żyć zdrowiej Wiele osób chciałoby jeść „lepiej”, aby być zdrowszym i czuć się świetnie, ale jakoś nie wiedzą od czego zacząć. Liczenie kalorii może być świetnym sposobem na znalezienie bardziej i mniej odpowiednich produktów spożywczych, zrozumienie ich składu i dowiedzenie się, co jeść, aby wspierać zdrowie układu sercowo-naczyniowego i zmniejszyć, na przykład ryzyko cukrzycy czy innych chorób cywilizacyjnych. Wszystko to, oczywiście, pod warunkiem, że nasza dieta jest zbilansowana. Wiemy też, że niestrawność może być związana na przykład ze spożyciem błonnika, więc nie trzeba od razu zaczynać łykać tabletek. Na przykład, czasami wystarczy skupić się na tym, aby w diecie znalazła się odpowiednia ilość warzyw i owoców. 6. Łatwiej będzie Ci utrzymać efekty Jeśli uda Ci się schudnąć dzięki liczeniu kalorii i osiągnąć wymarzone ciało, to świetnie. Nawet lepiej, będzie Ci o wiele łatwiej utrzymać osiągnięte rezultaty. Nie chodzi tu o liczenie kalorii przez całe życie. Jednak próbując tego przez jakiś czas, z pewnością poznasz przybliżoną wielkość swojej optymalnej porcji, a także jej odpowiedni skład. Dzięki temu w przyszłości będzie Ci łatwiej oszacować swoje porcje i utrzymać wagę. Dlatego właśnie liczenie kalorii znacznie różni się od „szytych na miarę” planów dietetycznych, które możesz dostać. Z nimi uda Ci się schudnąć, ale jeśli specjalista nie nauczy Cię, jak pracować z jedzeniem, jest bardzo prawdopodobne, że odzyskasz utracone kilogramy, kiedy wrócisz do starych nawyków żywieniowych. Teraz, gdy wiemy już, ile kalorii i makroskładników powinniśmy przyjmować, mamy ogólny zarys tego, czym są białka, węglowodany i tłuszcze, a także znamy korzyści płynące z liczenia kalorii, możemy wreszcie przejść do rzeczy. 1. Pobierz aplikacje, które ułatwiają ten proces W dzisiejszych czasach istnieje wiele aplikacji mobilnych, które mogą uprościć nasze życie, a nawet proces liczenia kalorii. Na samym początku aplikacja MyFitnessPal, na przykład, może być dla Ciebie wielkim pomocnikiem. W tej aplikacji wystarczy wprowadzić dane wejściowe lub możesz je obliczyć bezpośrednio przez aplikację, a następnie rozpocząć prowadzenie dziennika. Aby zapobiec konieczności szukania konkretnych produktów, wystarczy, że zeskanujesz kod kreskowy na dowolnej pakowanej żywności, a aplikacja znajdzie je dla Ciebie. Jednak inne aplikacje również mogą okazać się bardzo pomocne, jak na przykład MyNetDiary, która również służy do zapisywania spożywanych pokarmów. Ponadto zawiera setki zdrowych przepisów, z których możesz czerpać inspirację, jeśli zdecydujesz się zmienić swoje nawyki żywieniowe. A jeśli udało Ci się już osiągnąć poziom biegłości w liczeniu kalorii i chcesz dowiedzieć się jeszcze więcej o jedzeniu, aplikacja Nutrients – Nutrition Facts może Ci pomóc. Zawiera ona dziesiątki tysięcy produktów spożywczych, a także, na przykład, ich szczegółową zawartość witamin i minerałów. Informacje te możesz również znaleźć na stronie internetowej Departamentu Rolnictwa USA. 2. Waż porcje najczęściej spożywanych produktów Waga kuchenna to świetna rzecz, ale co zrobisz, jeśli baterie padną? Czy wszystkie wysiłki, żeby schudnąć, zostaną stracone? Aby nauczyć się lepiej oceniać swoje jedzenie, stwórz tabelę swoich ulubionych składników i zważ to, co znalazło się w kubku, łyżce lub miarce. Kolejnym razem podczas gotowania, nie musisz ponownie wyciągać wagi. Wystarczy, że zapamiętasz, ile dany surowiec zwykle zajmuje pojemności w Twoim kubku. Możesz też wyznaczyć na nim granice dla poszczególnych składników lub zainspirować się naszymi tabelami, które zawierają kilka produktów spożywczych ważonych w stanie surowym (podane wartości mogą się różnić w zależności od określonego rodzaju produktu). [8] Ile kalorii mają źródła węglowodanów? 100 g surowego składnikaKcalWęglowodanyBiałkaTłuszcze1 szklanka 250 mlMakaron3577312,52110 g makaronuSoczewica28666231,5210 g soczewicyPłatki owsiane37567,512,56160 g płatków owsianychRyż356806,50210 g ryżu Należy pamiętać, że surowce zmieniają swoją objętość po ugotowaniu. To, jak bardzo zmieni się waga, zależy również od czasu gotowania. Jednak w niektórych przypadkach może ona wzrosnąć nawet o 100-200%. Jeśli więc martwisz się, że jedna szklanka soczewicy ma 632 kcal, pamiętaj, że po ugotowaniu będziesz mieć aż 600 g soczewicy, co zdecydowanie nie jest małą ilością. Podobną tabelę można stworzyć nawet dla pomiaru źródeł tłuszczu. Ile kalorii mają źródła tłuszczu? 1 łyżeczkaKcalWęglowodanyBiałkaTłuszczeMasło orzechowe (15 g)96348Oliwa z oliwek (5 ml)41005Olej kokosowy (5 ml)44005Masło 5 g37004 Dla niektórych osób źródło białka, takie jak mięso, może być najtrudniejsze do oszacowania. W takim przypadku najłatwiejszym sposobem jest zważenie go zaraz po zakupie, a następnie zamrożenie, np. w porcjach po 100 g. Jeśli kupisz opakowanie piersi z kurczaka, które waży 400 g i zawiera dwa kawałki mięsa, po prostu spróbuj zrobić 4 kawałki mniej więcej tej samej wielkości. Z tofu, seitan i podobnymi substytutami łatwiej jest dokładnie oszacować ilość ze względu na ich regularny kształt. A jeśli znajdziesz się w sytuacji, w której jedzenie zaserwuje Ci ktoś inny i nie będziesz mieć kontroli nad wagą, możesz spróbować wyobrazić sobie że białka powinny zajmować około ¼ talerza. Ile kalorii mają wybrane źródła białka? 100 g surowego składnikaKcalWęglowodanyBiałkaTłuszczePierś kurczaka1100231Okrągły stek wołowy1722209Polędwica wieprzowa1430214Tofu wędzone1391178 Przy tworzeniu tabel podobnych do tych powyżej, zalecamy nie kierować się ilością znalezioną w Internecie, ale stworzyć ją samemu. Jedna szklanka różni się od drugiej. Podobnie łyżeczka masła orzechowego może mieć wiele rozmiarów, a tym samym różnić się o dziesiątki kalorii. Kiedy sami będziemy mierzyć wagę poszczególnych składników, w końcu nauczymy się idealnie i pewnie szacować ich ilość. 3. Zapisz swoje ulubione przepisy Jeśli każdego dnia masz na talerzu zupełnie inny posiłek, to dobrze dla Ciebie, możesz mieć pewność, że nic Ci się nie znudzi. Duża część społeczeństwa ma jednak swoje ulubione potrawy, które regularnie podmienia w ciągu miesiąca. Jeśli i Ty jesteś jednym z nich, mamy dla Ciebie radę, jak ułatwić sobie „dziennikarstwo” – zapisz swoje przepisy. W aplikacjach do liczenia kalorii zazwyczaj istnieje możliwość stworzenia własnego posiłku. Więc następnym razem, gdy będziesz przyrządzać tę potrawę ponownie, nie musisz klikać na wszystkie składniki. Wszystko, co musisz zrobić, to wybrać „swój” przepis, dostosować wagi poszczególnych składników i to wszystko. Na przykład, możesz zwiększyć ilość warzyw w razie potrzeby zamiast odżywki węglowodanowej. Ewentualnie, dodaj więcej masła orzechowego, gdy potrzebujesz uzupełnić tłuszcze. Funkcja ta jest również bardzo praktyczna, na przykład podczas pieczenia, ponieważ pozwala na zapisanie tylko określonej części gotowego przysmaku. Jeśli pieczesz deser wielkości patelni, nie ma konieczności odcinania kawałka, ważenia go, a następnie proporcjonalnego wyliczania, ile poszczególnych składników znajduje się w tym jednym kawałku. Aplikacja zrobi to za Ciebie. Podobnie możesz skorzystać z tej funkcji, nawet jeśli gotujesz dla większej liczby osób. Ponownie, możesz zważyć tylko swoją porcję, a aplikacja obliczy proporcje poszczególnych składników. 4. Planuj z wyprzedzeniem Osobom, które nie są jeszcze w pełni zorientowane w liczeniu kalorii, możemy polecić jedno – planowanie. Przygotowanie jest kluczem do sukcesu. Szczególnie podczas tego procesu. Jestem przekonana, że nikt nie chce spisywać tego, co już zjadł po obiedzie i stwierdzić, że zostało mu tylko 200 kcal na resztę dnia. Jednak może się to łatwo przytrafić każdemu, kto nie ma pojęcia, jaka ilość kalorii może kryć się w jego ulubionych potrawach. W pierwszych tygodniach najlepiej będzie, jeśli dzień wcześniej zaplanujesz i zapiszesz co najmniej 3 główne posiłki. Dzięki temu nie tylko równomiernie rozplanujesz posiłki w ciągu dnia, ale również zaoszczędzisz czas podczas gotowania. Po kilku tygodniach, kiedy lepiej poznasz swoje jedzenie, możesz zapisywać posiłki w aplikacjach w ciągu dnia, zamiast robić wszystko z wyprzedzeniem. Będziesz w stanie oszacować, ile kalorii i makroskładników ma dana potrawa i odpowiednio zaplanować wielkość porcji, aby nie skończyło się to wykorzystaniem wszystkich kalorii w pierwszej połowie dnia. 5. Nie patrz tylko na kalorie Oczywiście, kalorie są ważne i ich spożycie decyduje o tym, czy schudniesz, utrzymasz wagę czy przytyjesz. Jednak nie jest to jedyny wskaźnik, na który powinniśmy zwracać uwagę. Nawet w tym procesie nie powinniśmy zapominać o spożywaniu odpowiedniej ilości owoców (200 g), warzyw (400 g) oraz o harmonogramie picia. Powinniśmy pić co najmniej 30-45 ml na kilogram masy ciała każdego dnia. W rzeczywistości oznacza to, że ważąca 60 kg kobieta (132 lbs) powinna wypijać około 1,8-2,7 l, a 80-kilogramowy mężczyzna (176 lbs) – 2,4-3,6 l. 6. Czytaj etykiety Liczenie kalorii pozwala Ci czasem uwzględnić mniej odpowiednią żywność w dziennym spożyciu przy jednoczesnym utrzymaniu lub utracie wagi. Nie zmienia to jednak faktu, że w większości przypadków należy starać się wybierać pokarmy jak najmniej przetworzone, które dostarczą organizmowi wystarczającej ilości mikroelementów i niezbędnych substancji. Czytanie etykiet pomoże Ci podjąć właściwą decyzję. Jeśli zobaczysz produkt, którego połowę opakowania zajmują składniki, o których nigdy nie słyszałeś, lepiej odłóż go z powrotem na półkę. A może spróbuj zastosować się do 80:20, zgodnie z którą 80% tego, co jesz, składa się z wysokiej jakości żywności, a pozostałe 20% z mniej odpowiedniej żywności, ale sprawiającej przyjemność Twojej duszy i zaspokajającej Twoje pragnienia. Więcej informacji na temat działania tej zasady znajdziesz w artykule Jak jeść pizzę i słodycze, a mimo to schudnąć z IIFYM? 7. Kiedy popełnisz błąd, nie wpadaj w panikę Nikt nie jest idealny i najprawdopodobniej będziesz popełniać błędy na początku. Czasami możesz nawet nieświadomie przekroczyć zalecane spożycie o setki kalorii (na przykład, jeśli pomieszasz wartości surowych i gotowanych składników). Nie zadręczaj się tym. Nawet 500 kcal nadwyżki nie jest czymś, czego nie naprawiłaby godzina biegania. Liczenie kalorii to proces, w którym zawsze będziesz się czegoś uczyć. Zobaczysz, że z czasem nabierzesz wprawy i dokładności, aż w końcu dojdziesz do wniosku, że nawet nie będziesz potrzebować wagi i nauczysz się samodzielnie wszystko szacować. Jaki z tego morał? Liczenie kalorii zdecydowanie nie jest dla każdego, co jest w porządku. Jeśli jednak ruszysz w tę podróż, nauczysz się lepiej rozumieć jedzenie, będziesz wiedzieć, jak dokonywać właściwych wyborów, przestaniesz bać się pewnych pokarmów, a także będziesz w stanie żyć zdrowiej i zachować swoją sylwetkę. Od początku jednak musisz uzbroić się w cierpliwość i zaakceptować tę nową czynność jako proces, w którym stale się doskonalisz. Zobaczysz, że z czasem liczenie kalorii stanie się dla Ciebie coraz łatwiejsze i stopniowo dojdziesz do etapu, w którym nie będziesz już nawet potrzebować wagi. Dla przeciętnej osoby, liczenie kalorii nie jest na pewno czymś, co mogłaby robić przez całe życie. To narzędzie będzie pomocne szczególnie na początku, zanim nauczysz się pracować z jedzeniem. A jaki jest Twój styl – liczysz kalorie, czy może planujesz zacząć? Podziel się z nami swoimi doświadczeniami w komentarzach i nie zapomnij udostępnić tego artykułu swoim znajomym. Może pomoże im on uprościć cały proces i osiągnąć swoje cele. Źródła:[1] Thermic Effect of Food – [2] James Hill, Wyatt, H. R., & Peters, J. C. – The Importance of Energy Balance – [3] Commission Regulation (EU) No 432/2012 of 16 May 2012 establishing a list of permitted health claims made on foods, other than those referring to the reduction of disease risk and to children’s development and health – [4] Margriet S. Westerterp-Plantenga a kol. – Dietary protein – its role in satiety, energetics, weight loss and health – [5] M Elia, P Folmer, A Schlatmann, A Goren, S Austin – Carbohydrate, fat, and protein metabolism in muscle and in the whole body after mixed meal ingestion – [6] Know More about Fat – [7] Mohammed S. Razzaque – The Role of Fiber in Energy Balance – [8] FoodData Central –

Długo się zastanawiałam, jak to zrobić, Jeden przykład - granice ciągu. Post autor: manuela » 19 paź 2011, o 20:58. aalmond pisze:Skorzystaj z tego, że:

Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352 prosiłbym o wytłumaczenie na danych 4 przykładach jak liczyć granice funkcji dwóch zmiennych mam z tym trochę problemów, a chciałbym to zrozumieć. Będę wdzięczny za choćby pomocne wskazówki. Z góry dziękuję za pomoc Obliczyć granice lub wykazać ich nieistnienie:

Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów. Granice ciągów - podstawowe wzory Poniższa tabela zawiera podstawowe wzory przydatne przy obliczaniu granic ciągów. CiągGranicaPrzykład Ciąg geometryczny: Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg , który jest zbieżny do zera Ciąg stały: Twierdzenie Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów. Niech oraz Prawdziwe są następujące równości: Przykład Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów. Obliczanie typowych granic Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku. Przykład Przykład Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach. Przykład Obliczyć granicę ciągu . Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu. Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M. Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0Zauważamy, że Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego wyrazu ciągu() prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność. Przykład Wykazać, że Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność , czyliPonieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:Rozwiązujemy nierównośćPowyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest więc takie n0, równe na przykład , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć. Animacja Twierdzenia o granicach ciągów Twierdzenie Prawdziwa jest następująca implikacja: Przykład TwierdzeniePrawdziwa jest następująca implikacja: Przykład Twierdzenie o trzech ciągach Poniższe twierdzenie jest wykorzystywanie często tam, gdzie zawodzą inne metody. Stosuje się je na przykład, gdy we wzorze na n-ty wyraz ciągu pojawia się pierwiastek. Obliczanie granicy ciągu z pierwiastkiem odbywa się więc z wykorzystaniem tego twierdzenia. Oto one: Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz to ciąg bn jest zbieżny i Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie. Przykład Wiedząc, że , gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicęMożemy zapisać, że: Mamy więc spełniony warunek Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż Zatem na podstawie powyższego twierdzenia .Zadania z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Obliczanie granic ciągów Zadanie - obliczanie granic ciągówObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy ciąguObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicjiWykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicjiWykazać na podtawie definicji, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy ciąguObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)Granica . Wynika stąd, że A. p=-8 B. p=4 C. p=2 D. p=-2Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)Oblicz granicę .W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiOtoczenie punktuCo to jest otoczenie punktu? Granica ciąguGranica ciągu - definicja i omówienie właściwości wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2009-09-05, ART-313 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

a) funkcja f jest stała, tzn. f (x) = c, jeśli x , to istnieje granica funkcji f w punkcie i ; b) f (x) = x, jeśli x , to istnieje granica funkcji f w punkcie i . Twierdzenie 2. Jeżeli istnieją granice oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to istnieją również granice: , ,, ( przy dodatkowym założeniu, że ) i prawdziwe są

Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Twierdzenie Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe. Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną: Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy. Przykład Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: w punkcie równym Obliczamy granicę lewostronną: Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji: Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Granica lewostronna i prawostronna funkcji Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcjia) w punkcie x0=2b) w punkcie x0=-3Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronneObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:a) w punkcie x0=1b) w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica prawostronna i lewostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=-1Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiSąsiedztwo punktuCo to jest sąsiedztwo punktu?Granica funkcjiGranica funkcji w punkcie, podstawowe wzory, obliczanie granic, definicja Heinego oraz Cauchy' niewłaściwa funkcjiCo to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?Granica funkcji w nieskończonościDefinicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernychTest wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2010-05-12, ART-860 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu. Ostatnio zmieniony 22 kwie 2013, o 17:34 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. 1 Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu Wstęp do analizy, uzupełnienie wiedzy z klasy I,II Wyświetl 2 Granica funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica funkcji w punkcie. Wyświetl 3 Obliczanie granic funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak obliczać trudniejsze rodzaje granic funkcji w punkcie. Wyświetl 4 Granice jednostronne funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica jednostronna funkcji w punkcie. Wyświetl 5 Granice funkcji w nieskończoności W tym temacie nauczysz się liczyć granice funkcji w nieskończonościach. Wyświetl 6 Granice niewłaściwe funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest granica niewłaściwa funkcji. Wyświetl 7 Ciągłość funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Wyświetl 8 Ciągłość funkcji w zbiorze Wiesz już jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Tym razem rozpatrzymy ciągłość funkcji w zbiorze. Wyświetl 9 Asymptoty wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest asymptota wykresu funkcji. Wyświetl 10 Pochodna funkcji w punkcie W tym nauczysz się obliczać pochodną funkcji w punkcie. Wyświetl 11 Funkcja pochodna Wiesz już w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji w punkcie. W tym temacie poszerzysz swoją wiedzę na temat pochodnych. Wyświetl 12 Styczna do wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się jak wyznaczyć wzór stycznej do dowolnej funkcji przy użyciu rachunku pochodnych. Wyświetl 13 Ekstrema lokalne funkcji W tym temacie poznasz uniwersalną metodę liczenia ekstremów dowolnej funkcji. Wyświetl 14 Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale W tym temacie dowiesz się w jaki sposób wskazać największą oraz najmniejszą wartość funkcji w pewnym przedziale. Wyświetl 15 Badanie przebiegu zmienności funkcji W oparciu o poprzednie działy jesteś w stanie sporządzić poglądowy rysunek dowolnej funkcji. W tym temacie dowiesz się jak to zrobić. Wyświetl 16 Zadania optymalizacyjne Istotą zadań optymalizacyjnych jest wyznaczenie jak najlepszej (najbardziej optymalnej) wartości pewnej funkcji w danym kontekście. W tym dziale znajdziesz przykłady tego typu zadań wraz z ich rozwiązaniami. Wyświetl 17 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji W tym temacie dowiesz się w jakim celu korzysta się z pochodnej w zadaniach dotyczących monotoniczności funkcji. Wyświetl .